- 试题详情及答案解析
- （本小题满分14分）四棱锥
中，底面
是正方形，
，垂足为点
，
，点
分别是
的中点．
（1）求证：
；
（2）求证：
；
（3）求四面体
的体积．- 答案：（1）详见解析；（2）详见解析；（3）
．- 试题分析：（1）证明PB∥平面ACM，利用线面平行的判定定理，只需证明线线平行，利用三角形的中位线可得MO∥PB；
（2）证明MN⊥平面PAC，由于MN∥BD，只要证明BD⊥平面PAC，利用线面垂直的判定定理，即可证得；
（3）利用等体积，即
，从而可得结论．
试题解析：（1）连接AC，BD，AM，MC，MO，MN，且
∵点O，M分别是PD，BD的中点
∴MO∥PB，
∵PB
平面ACM，MO
平面ACM
∴PB∥平面ACM．
（2）∵PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD
∴PA⊥BD
∵底面ABCD是正方形，∴AC⊥BD
又∵
∴BD⊥平面PAC
在△PBD中，点M，N分别是PD，PB的中点，∴MN∥BD
∴MN⊥平面PAC．
（3）∵，
，
∴
．
考点：线面平行判定；线面垂直判定；等体积法求体积．