- 试题详情及答案解析
- 已知关于的方程.
(1)求证:当时,方程总有两个不相等的实数根;
(2)若二次函数的图象与x轴交于A,B两点(A在B的左侧),与轴交于点C,且tan∠OAC=4,求该二次函数的解析式;
(3)已知点P(m,0)是x轴上的一个动点,过点P作垂直于x轴的直线交(2)中的二次函数图象于点M,交一次函数的图象于点N.若只有当时,点M位于点N的下方,求一次函数的解析式.
- 答案:(1)见解析;(2);(3).
- 试题分析:(1)利用一元二次方程根的判别式进行说明;(2)首先用含k的代数表示A、B、C三点的坐标,然后根据tan∠OAC=4求出k的值,从而得出函数解析式;(3)根据图象求出交点坐标,然后利用待定系数法求出一次函数的解析式.
试题解析:(1)证明:∵=,
又∵,∴,∴,即,
∴当时,方程总有两个不相等的实数根.
(2)解:∵与x轴交于A、B两点,
∴令,有, 解得 ,或.
∵,点A在点B的左侧, ∴A(1,0),B(,0).
∵抛物线与y轴交于点C, ∴C(0,).
在Rt△AOC中,tan∠OAC===4, 解得.
∴抛物线的解析式为.
(3)依题意并结合图象可知,一次函数的图象与二次函数的图象交点的横坐标分别为1和5,由此可得交点坐标为(1,0)和(5,4).
将交点坐标分别代入一次函数解析式中,得, 解得,
∴一次函数的解析式为.
考点:根的判别式、待定系数法求函数解析式.