- 试题详情及答案解析
- 如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD与⊙O相切， AD∥BC，连结OD，AC．
（1）求证：∠B=∠DCA；
（2）若tan B=
，OD=
， 求⊙O的半径长．- 答案：（1）见解析；（2）r=3.
- 试题分析：（1）连接OC，根据切线的性质可得∠2+∠3=90°，根据直径所对的圆周角为直角可得∠1+∠B=90°，根据OA=OC可得∠1=∠2，从而得出∠3=∠B；（2）根据角度的关系得出△ABC和△DCA相似，根据∠B的正切值，设AC=
k，可以得到BC，AB与k的关系，根据Rt△OCD的勾股定理求出k的值.
试题解析：（1）证明：连结OC．
∵CD与⊙O相切，OC为半径， ∴∠2+∠3=90° ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB=90°，
∴∠1+∠B=90°， 又∵OA=OC， ∴∠1=∠2， ∴∠3=∠B．
（2） ∵AD∥BC，AB是⊙O的直径， ∴∠DAC=∠ACB=90°， ∵∠1+∠B=90°，∠2+∠3=90°，∠1=∠2，
∴∠B=∠3，∴△ABC∽△DCA ∴
∴∠B的正切值为
设AC=k，BC=2k 则AB=3k
∴
∴DC=
在△ODC中，OD=3
OC=k ∴
∴解得：k=2 ∴⊙O的半径长为3
考点：切线的性质、三角形相似的应用、勾股定理.