- 试题详情及答案解析
- 如图,AB为⊙O的直径,直线与⊙O相切于点C,过点A作AD⊥于点D,交⊙O于点E.
(1)求证:∠CAD=∠BAC;[(2)若sin∠BAC=,BC=6,求DE的长.- 答案:(1)见解析 (2)DE=
- 试题分析:(1)连接OC,根据切线性质得到AD∥CD,则∠CAD=∠ACO,根据OC=OA得到∠ACO=∠OAC,从而说明∠CAD=∠BAC;(2)做BF⊥l,连接BE,根据直径所对的圆周角等于90°说明四边形DEBF为矩形,根据垂直的定义说明∠BCF=∠BAC,根据∠BAC的正弦值得出BF的长度,从而得出DE的长度.
试题解析:(1)证明:连接OC,∵CD为⊙O的切线,∴OC⊥CD,
∵AD⊥CD,∴OC∥AD,∴∠CAD=∠ACO.又∵OC=OA,
∴∠ACO=∠OAC,∴∠CAD=∠OAC,即∠CAD=∠BAC.
(2)过点B作BF⊥于点F,连接BE,∵AB为⊙O的直径,∴∠AEB=90°,
又AD⊥于点D,∴∠AEB=∠ADF=∠BFD=90°,∴四边形DEBF是矩形,
∴DE=BF. ∵AB为⊙O的直径,∴∠ACB=90°,
∴∠ACD+∠BCF=90°.∵∠ADC=90°,∴∠ACD+∠CAD=90°,
∴∠BCF=∠CAD. ∵∠CAD=∠BAC, ∴∠BCF=∠BAC.
在Rt△BCF中,BC=6, sin∠BCF==sin∠BAC=,
∴BF== ∴DE=BF=.
考点:切线的性质、平行线的性质、矩形的性质、锐角三角函数的应用.