- 试题详情及答案解析
- 如图,在平面直角坐标系xOy中,已知点B的坐标为(2,0),点C的坐标为(0,8),sin∠CAB=, E是线段AB上的一个动点(与点A、点B不重合),过点E作EF∥AC交BC于点F,连结CE.
(1)求AC和OA的长;
(2)设AE的长为m,△CEF的面积为S,求S与m之间的函数关系式;
(3)在(2)的条件下试说明S是否存在最大值,若存在,请求出S的最大值,并求出此 时点E的坐标,判断此时△BCE的形状;若不存在,请说明理由.- 答案:(1)AC=10;OA=6;(2)S=-+4m;(3)E(-2,0);△BCE为等腰三角形.
- 试题分析:(1)根据点坐标求出OB和OC的长度,根据∠CAB的正弦值求出AC,根据△AOC的勾股定理求出OA;(3)根据相似求出EF与m的关系,根据∠EFG的正弦值求出FG与m的关系,然后根据S=△BCE的面积减去△BFE的面积进行计算;(3)根据二次函数的最值问题求出点E的坐标,然后进行判定.
试题解析:(1)∵点B的坐标为(2,0),点C的坐标为(0,8), ∴OB=2, OC=8.
在Rt△AOC中,sin∠CAB== ∴ AC=10 ∴
(2)依题意,AE=m,则BE=8-m. ∵EF∥AC,
∴△BEF∽△BAC. ∴= . 即 =.
∴EF=.
过点F作FG⊥AB,垂足为G. 则sin∠FEG=sin∠CAB=.
∴=. ∴FG==8-m.
∴S==(8-m)×8-(8-m)(8-m)=-+4m.
自变量m的取值范围是0<m<8.
(3) S存在最大值. ∵S=-+4m=+8,且-<0,
∴当m=4时,S有最大值,S最大值=8
∵m=4, ∴点E的坐标为(-2,0) ∴△BCE为等腰三角形.
考点:相似三角形的应用、二次函数的应用.