- 试题详情及答案解析
- （本小题满分14分）已知函数
（1）求曲线
在点
处的切线方程；
（2）求函数
的极值；
（3）对
恒成立，求实数
的取值范围．- 答案：（1）
；（2）函数的极小值为
, 无极大值；（3）
.- 试题分析：（1）先求出
，再根据导数的几何意义，求出该点的导数值，即可得出曲线在此点处的切线的斜率，然后用点斜式写出切线方程即可；（2）令导数大于0解出函数的增区间；令导数小于0，解出函数的减区间，然后由极值判断规则确定极值即可；（3）由恒成立，得到
在
上恒成立，于是构造函数
，即可将所求问题转化为
.
试题解析：（1）函数的定义域为
， 
，
，
， 
曲线在点处的切线方程为
，
即,
（2）令
，得
，
列表：
- 0 + ↘ 
↗ 函数的极小值为, 无极大值。
（3）依题意对恒成立
等价于
在上恒成立
可得在上恒成立，
令,
令
，得
列表：
- 0 + 
↘ 
↗ 函数
的最小值为
,
根据题意，.
考点：导数在最大值、最下值问题中的应用；利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程.