- 试题详情及答案解析
- （本小题满分10分）选修4
4：坐标系与参数方程
在极坐标系内，已知曲线
的方程为
，以极点为原点，极轴方向为
正半轴方向，利用相同单位长度建立平面直角坐标系，曲线
的参数方程为
（
为参数）.
（1）求曲线的直角坐标方程以及曲线
的普通方程；
（2）设点
为曲线上的动点，过点作曲线
的切线，求这条切线长的最小值.- 答案：（1）曲线的直角坐标方程为
，曲线的普通方程为
；（2）
. - 试题分析：（1）由题意可利用直角坐标与极坐标的互化公式
代入曲线的极坐标方程，可将其转化为直角坐标方程；经过消参可以将曲线的参数方程转化为普通方程.由曲线的极坐标方程
，将代入得
，整理得；由曲线的参数方程
（为参数），消掉参数可得曲线的普通方程为.
（2）由题意可知，过圆心作曲线的垂线，且相交于点，则交点为所求的点，再利用勾股定理可求出切线长的最小值.由（1）知曲线的圆心坐标为
，半径为1，利用点到直线的距离公式可求得圆心到曲线的距离为
，所以所切线长为
.
试题解析：（1）对于曲线的方程为，
可化为直角坐标方程，即；
对于曲线的参数方程为（为参数），
可化为普通方程. 5分
（2）过圆心
点作直线的垂线，此时切线长最小，
则由点到直线的距离公式可知，
，
则切线长
. 10分
考点：1.曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化；2.点到直线的距离公式.