- 试题详情及答案解析
- （本题满分14分）．已知函数
．
（1）当
时，函数
取得极大值，求实数
的值；
（2）已知函数
，在区间
内存在唯一
，使得
．设函数
（其中
），证明：对任意
，都有
；
（3）已知正数
满足
，求证：对任意的实数
，若
时，都有
．- 答案：（1）
；
（2）令
，
则
．
因为函数
在区间
上可导，则根据结论可知：存在
使得
．
又
，
当
时，
，从而
单调递增，
；
当
时，
，从而单调递减，
；
故对任意，都有
．
（3）因为
且
，
，
同理
，
由（Ⅱ）知对任意，都有，从而
． - 试题分析：（1）求出原函数的导函数，由
求出的值，再将的值代入原函数，可得其导函数，令导函数大于0和导函数小于0，可分别判断函数的单调区间，进而确定函数在
处取得极大值；（2）构造辅助函数
，求导后得到，由已知函数在区间上可导，则存在使得．又，则求出
，然后
在
，
内的符号判断其单调性，从而说明对任意
，都有
；（3）根据已知条件利用作差法得到
，然后结合第（2）问的结论即可得出答案．
试题解析：(1)由题设，函数的定义域为
，且
所以
，得，此时．
当
时，
，函数在区间
上单调递增；
当
时，
，函数在区间
上单调递减．
函数在处取得极大值，故．
（2）令
，
则．因为函数在区间上可导，则根据结论可知：存在使得．
又，
当时，，从而单调递增，；
当时，，从而单调递减，；
故对任意，都有．
（3）因为且，，
同理，
由（Ⅱ）知对任意，都有，从而
．
考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．