- 试题详情及答案解析
- （本小题满分12分）
平面内动点P（x，y）与两定点A（-2, 0）, B（2,0）连线的斜率之积等于
，若点P的轨迹为曲线E，过点Q
作斜率不为零的直线
交曲线E于点
．
（1）求曲线E的方程；
（2）求证：
；
（3）求
面积的最大值．- 答案：（1）
；（2）略；（3）1. - 试题分析：（1）根据题意可分别求出连线
，
的斜率
，
，再由条件斜率之积为
列出方程，进行化简整理可得曲线
的方程，注意点
不与点
重合.根据斜率的计算公式可求得
，
，所以
，化简整理可得曲线的方程为；
（2）若要证
，只要证
，再利用两个向量数量积为零的坐标运算进行证明即可.那么由题意可设直线
的方程为
，
，联立直线与椭圆的方程消去
，可得关于
的一元二次方程
，由违达定理知
，则
，
，又
，
，所以
，从而可以证明；
（3）根据题意可知
，
又
，故当
时，
的面积最大，最大面积为1.
试题解析：（1）设动点P坐标为
，当
时，由条件得：
，化简得，
故曲线E的方程为. 4分（说明：不写的扣1分）
（2）斜率不为0，所以可设方程为
，与椭圆联立得：设
， 所以
，. 6分
，
所以 8分
（3）面积为
， 10分
当
时的面积最大为
. 12分[
考点：1.椭圆的方程；2.向量法证明两直线垂直；3.三角形面积的计算.