- 试题详情及答案解析
- （本题满分12分）已知函数
，其中
为实数
（1）求函数
的单调区间；
（2）若函数
对定义域内的任意
恒成立，求实数的取值范围；
（3）证明： 
,对于任意的正整数
成立.- 答案：（1）函数的增区间是
和
，减区间是
；（2）
；（3）略. - 试题分析：(1)由已知可得
，
当
时，令
得
；
得
，
此时，函数的增区间是
，减区间是，
①当
时，令得或
；令得
，
此时，函数的增区间是
和
，减区间是
；
②当
时，
对任意
恒成立，
此时，函数的增区间是
，无减区间；
③当
时，令得
或；得
，
综上可得，函数的增区间是和，减区间是.
（2）由于
，显然当
时，
，此时
对定义域内的任意不是恒成立的；当
时，根据（1）函数
在区间上的极小值（也是最小值）是，此时只要即可，解得，故实数的了取值范围是.
（3）当
时，
（当且仅当
时等号成立）则
，当时，此不等式可以变形为
，分别令
，则
所以 
.
试题解析：(1)因为
当时，令得；得
此时，函数的增区间是，减区间是
当时，令得或；得
此时，函数的增区间是和，减区间是
当时，对任意恒成立，
此时，函数的增区间是，无减区间
当时，令得或；得
此时，函数的增区间是和，减区间是 . （4分）
（2）由于，显然当时，，此时，对定义域内的任意不是恒成立的；当时，根据（1）函数在区间上的极小值（也是最小值）是，此时只要即可，解得，故实数的了取值范围是. （8分）
（3）当时，（当且仅当时等号成立）则，当时，此不等式可以变形为，分别令，则
所以 
.
考点：1.导数应用；2.函数最值；3.不等式证明.