- 试题详情及答案解析
- 如图①，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（2，0）和点B（－6，0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设抛物线的对称轴与
轴交于点M ，在对称轴上存在点P，使△CMP为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点P的坐标．
（3）设点Q是抛物线对称轴上的一个动点，当点Q满足
最大时，求出Q点的坐标．
（4）如图②，若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE、CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求此时E点的坐标．- 答案：（1）y=-
x2-2x+6；
（2）P（-2，
）或P（-2，2
）或P（-2，-2）或P（-2，12）；
（3）当Q在（-2，12）的位置时，|QB-QC|最大；
（4）最大值为
；E坐标为（-3，
）． - 试题分析：（1）将点A（2，0）和点B（-6，0）分别代入y=ax2+bx+6，得到关于a、b的二元一次方程组，解方程组求出a、b的值，进而得到抛物线的解析式；
（2）根据（1）的函数解析式得出抛物线的对称轴为x=-2，再求出M点的坐标，由于C是抛物线与y轴的交点，因此C的坐标为（0，6），根据M、C的坐标求出CM的距离．然后分三种情况进行讨论：①CP=PM；②CM=MP；③CM=CP；
（3）由抛物线的对称性可知QB=QA，故当Q、C、A三点共线时，|QB-QC|最大，连结AC并延长，交对称轴于点Q，利用待定系数法求出直线AC的解析式，再将x=-2代入，求出y的值，进而得到Q点的坐标；
（4）由于四边形BOCE不是规则的四边形，因此可将四边形BOCE分割成规则的图形进行计算，过E作EF⊥x轴于F，四边形BOCE的面积=三角形BFE的面积+直角梯形FOCE的面积．直角梯形FOCE中，FO为E的横坐标的绝对值，EF为E的纵坐标，已知C的纵坐标，就知道了OC的长．在三角形BFE中，BF=BO-OF，因此可用E的横坐标表示出BF的长．如果根据抛物线设出E的坐标，然后代入上面的线段中，即可得出关于四边形BOCE的面积与E的横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求得四边形BOCE的最大值及对应的E的横坐标的值．即可求出此时E的坐标．
试题解析：（1）由题知：
，
解得：
，
故所求抛物线解析式为：y=-x2-2x+6；
（2）∵抛物线解析式为：y=-x2-2x+6，
∴对称轴为x=
，
设P点坐标为（-2，t），
∵当x=0时，y=6，
∴C（0，6），M（-2，0），
∴CM2=（-2-0）2+（0-6）2=40．
①当CP=PM时，（-2）2+（t-6）2=t2，解得t=，
∴P点坐标为：P1（-2，）；
②当CM=PM时，40=t2，解得t=±2，
∴P点坐标为：P2（-2，2）或P3（-2，-2）；
③当CM=CP时，由勾股定理得：40=（-2）2+（t-6）2，解得t=12，
∴P点坐标为：P4（-2，12）．
综上所述，存在符合条件的点P，其坐标为P（-2，）或P（-2，2）或P（-2，-2）或P（-2，12）；
（3）∵点A（2，0）和点B（-6，0）关于抛物线的对称轴x=-2对称，
∴QB=QA，
∴|QB-QC|=|QA-QC|，
要使|QB-QC|最大，则连结AC并延长，与直线x=-2相交于点Q，即点Q为直线AC与直线x=-2的交点，
设直线AC的解析式为y=kx+m，
∵A（2，0），C（0，6），
∴
，
解得
，
∴y=-3x+6，
当x=-2时，y=-3×（-2）+6=12，
故当Q在（-2，12）的位置时，|QB-QC|最大；
（4）过点E作EF⊥x轴于点F，设E（n，-n2-2n+6）（-6＜n＜0），
则EF=-n2-2n+6，BF=n+6，OF=-n，
S四边形BOCE=BF•EF+（OC+EF）•OF
=（n+6）•（-n2-2n+6）+（6-n2-2n+6）•（-n）
=-
n2-9n+18=-（n+3）2+，
所以当n=-3时，S四边形BOCE最大，且最大值为
此时，点E坐标为（-3，）．
考点：二次函数综合题．