- 试题详情及答案解析
- （本题满分13分）已知函数
（Ⅰ）讨论函数
的单调性；
（II）若函数
的图象在点
处的切线的倾斜角为
，对于任意的
，函数
在区间
上总不是单调函数，求
的取值范围；
（Ⅲ）求证：
- 答案：（1） 当
时，的单调递增区间为
，单调递减区间为
；
当
时，不是单调函数；
当
时，的单调递增区间为，单调递减区间为
（2）
;（3）见解析. - 试题分析：（1）求导，对
不同的取值进行讨论确定导数在相应区间上的符号，从而可求得单调区间.（2）因为函数
在点点处的切线的倾斜角为，可求出的值，求函数
的导数，任意的，函数在区间上总不是单调函数等价于
可求的取值范围.（3）因为
，所以要证结论成立，只要证
即
即可，由（1）可知
在
上单调递增，所以当
时，
，即
对一切成立，所以
，则有
可证结论成立.
试题解析：（1）
，
当时，的单调递增区间为，单调递减区间为；
当时，不是单调函数；
当时，的单调递增区间为，单调递减区间为 4分
（2）由
，得
，
，
所以
，
所以
，
因为
在区间
上总不是单调函数，且
，所以
，
由题意知，对于任意的，
恒成立，
所以
，解得
，
故实数的取值范围是
9分
（3）令
，所以，
所以
，
由（1）知在上单调递增，
所以当时，，
即
，
所以对一切成立，
因为
，则有
，
所以
，
故
13分
考点：函数与导数、导数的几何意义、函数的单调性、不等式证明.