- 试题详情及答案解析
- （本题满分13分）已知数列
是各项均为正数的等差数列，其中
，且
成等比数列；数列
的前
项和为
，满足
.
（1）求数列、的通项公式；
（2）如果
，设数列
的前项和为
，是否存在正整数，使得
成立，若存在，求出的最小值，若不存在，说明理由.- 答案：（1）
，
；（2）存在；
。- 试题分析：（1）用基本量法，即用
和
表示条件即可求数列
的通项公式；由
时，
可得到数列
是一等比数列，进一步可求其通项公式；
（2）用公式直接求
，用错位相减法求数列的前项公式
，计算
与
比较大小求出的最小值即可.
试题解析：（1）设数列的公差为
，依条件有
，
即
，解得
（舍）或
，
所以
. 2分
由，得
，
当
时，
，解得
，
当
时，
，
所以
，
所以数列是首项为
，公比为的等比数列，
故. 5分
（2）由（1）知，
，
所以
①
②
得
. 9分
又
.
所以
，
当时，
，
当时，
，所以，
故所求的正整数存在，其最小值是2. 13分
考点：等差、等比数列的定义和性质，错位相减法、不等式恒成立问题。