- 试题详情及答案解析
- （本题满分12分）已知函数
是奇函数（
且
）．
①求实数
的值；
②判断
在区间
上的单调性，并加以证明；
③当
且
时，的值域是，求实数
与
的值．- 答案：①
；②；当
时，在
上是减函数；当
时，在上是增函数；③
.- 试题分析：本题以复合对数函数为载体，综合考查对数函数的性质，函数的单调性，函数的奇偶性，对考生数学式子变形能力要求较高.(1)由
为奇函数，根据
可以求出；（2）证明函数的单调性要利用定义：任意取值—作差—变形—定号下结论，在作差变形后得到的时对数式，再作差比较真数和1的大小，由于不确定，还需要分
两种情况讨论函数的单调性；（3）函数的定义域为
，所以
，由题意，所以
，又
时，解得
，由（2）知函数在
上为减函数，要满足的值域是，需要
时,
，所以
即
.
试题解析：（1）因为是奇函数，即
，
所以
对定义域内的一切
都成立，所以
，
又当
时，无意义，故
由（1）得，
，任意取
且
，
则
.
由于
因为
，所以
，
所以
所以当时 ，
；当时，
.
综上所述：当时，在上是减函数；
当时，在上是增函数
（3）由
得中.又
得
令，则
,解得.所以
.
当时,
,此时在上是减函数，
所以当时,.由题意知
,
.
综上所述
考点：1.对数函数的性质；2.函数的单调性