- 试题详情及答案解析
- (本小题满分12分)如图,四棱锥中,平面,,,,为的中点.
(Ⅰ)证明:;
(Ⅱ)若二面角为,求直线与平面所成角的正切值.
(Ⅲ)若,求平面与平面PAB所成的锐二面角的余弦值- 答案:(Ⅰ)详见解析;(Ⅱ)2;(Ⅲ).
- 试题分析:(Ⅰ)证明CE⊥AB,即证AB⊥CE,根据已知条件容易想到取AB中点F,连接EF,CF,便可得到AB⊥EF,AB⊥CF,所以AB⊥平面CEF,所以AB⊥CE;
(Ⅱ)根据二面角的平面角的定义,以及线面垂直的判定定理及性质可知∠PDA是二面角P﹣CD﹣A的平面角,所以∠PDA=45°,所以PA=AD,并且由(Ⅰ)知∠CEF为CE与平面PAB所成的角,所以根据PA=AD即可求出tan∠CEF;
(Ⅲ)要求平面PCD与平面PAB所成的锐二面角的余弦值,需先找出这个二面角的平面角,先找平面PAB和平面PCD的交线,因为P点是这两个平面的公共点,所以交线过P点,并且发现,过P作平行于AB的直线PG,也平行于CD,所以PG是这两个平面的交线.并且容易说明PA⊥PG,PD⊥PG,所以∠DPA是平面PCD与平面PAB所成的锐二面角的平面角,因为PA=kAB=kAD,
所以这样即可求出cos∠DPA=.
试题解析:(Ⅰ)如下图,取AB的中点F,连结EF,FC,
则.
因为平面,
所以平面.
因为平面,
所以.
因为,
所以.
因为平面,平面,
所以平面.
因为平面,
所以.
(Ⅱ)因为平面, 平面,
所以.
因为,
所以平面.
所以.
所以为二面角的平面角.
所以.
所以.
因为,
所以.
由(Ⅰ)知,为与平面所成的角.
因为,
所以直线与平面所成角的正切值为2.
(Ⅲ)过点作,
由平面,,
由平面,, ,
为所求锐二面角的平面角.
考点:线面垂直的性质;线面垂直的判定定理;二面角、二面角的平面角及线面角的概念;以及求二面角的平面交点方法.