- 试题详情及答案解析
- （本小题12分）如图，已知直角梯形
中，
且
，又
分别为
的中点，将△
沿
折叠，使得
.
（Ⅰ）求证：
；
（Ⅱ）求证：
；
（Ⅲ）在线段
上找一点
，使得
,并说明理由．- 答案：（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）见解析
- 试题分析：（Ⅰ）（Ⅱ）利用判定定理证明线面平行时，关键是在平面内找一条与已知直线平行的直线，解题时可先直观判断平面内是否已有，若没有，则需作出该直线，常考虑三角形的中位线、平行四边形的对边或过平行线分线段成比例等．证明直线和平面垂直的常用方法：（1）利用判定定理．（2）利用判定定理的推论．（3）利用面面平行的性质．（4）利用面面垂直的性质.（Ⅲ）判定面面垂直的方法（1）面面垂直的定义，即证两平面所成的二面角为直角；（2）面面垂直的判定定理
试题解析：（1）由已知得DE⊥AE，AE⊥EC.
∵DE∩EC＝E，DE、EC⊂平面DCE. 2分
∴AE⊥平面CDE. 4分
（2）取AB中点H，连接GH、FH，
∴GH∥BD，FH∥BC，
又GH∩FH＝H，
∴平面FHG∥平面BCD， 7分
∴GF∥平面BCD. 8分
（3）取线段DC中点R，则平面AER⊥平面DCB
∵在△DEC中，DE=EC，R为DC中点
∴ER⊥DC 9分
∵AE⊥平面CDE,.DC⊂平面DCE
∴AE⊥DC 10分
又ER∩AE＝E，AE、ER⊂平面AER.
∴DC⊥平面AER 11分
∵DC⊂平面DCB
∴平面AER⊥平面DCB
即取DC中点R时，有平面AER⊥平面DCB 12分
考点：立体几何综合应用