- 试题详情及答案解析
- （本小题满分14分）在平面直角坐标系
中，已知圆
过坐标原点O且圆心在曲线
上.
（Ⅰ）若圆M分别与
轴、
轴交于点
、
（不同于原点O），求证：
的面积为定值；
（Ⅱ）设直线
与圆M 交于不同的两点C，D，且
，求圆M的方程；
（Ⅲ）设直线
与（Ⅱ）中所求圆M交于点
、
， 
为直线
上的动点，直线
，
与圆M的另一个交点分别为
，
，求证：直线
过定点.- 答案：（Ⅰ）
；（Ⅱ）
；（Ⅲ）
或
. - 试题分析：（Ⅰ）由题意可设圆M的方程为
，求出圆M分别与x轴、y轴交于点A、B的坐标，利用面积公式，可得：△AOB的面积为定值；
（Ⅱ）由|OC|=|OD|，知OM⊥l，解得t=±1，再验证，即可求圆M的方程；
（Ⅲ）设
，整理得
．①设直线GH的方程为
，代入，利用韦达定理，确定直线方程，即可得出结论．
试题解析：（Ⅰ）由题意可设圆M的方程为
，
即
.
令
，得
；令
，得
.
（定值）.
（Ⅱ）由，知
.
所以
，解得
.
当
时，圆心M
到直线的距离
小于半径，符合题意；
当
时，圆心M
到直线的距离
大于半径，不符合题意.
所以，所求圆M的方程为.
（Ⅲ）设
，
，
，又知
，
，
所以
，
.
因为
，所以
.
将
，
代入上式，
整理得
. ①
设直线的方程为
，代入，
整理得
.
所以
，
.
代入①式，并整理得
，
即
，
解得
或
.
当时，直线的方程为
，过定点；
当时，直线的方程为
，过定点
考点：圆的方程；直线与圆的位置关系；分析思考能力和计算能力.