- 试题详情及答案解析
- 如图，已知四棱锥
，底面
为菱形，
平面，
，
分别是
的中点．
（1）证明：
；
（2）若
,求二面角
的余弦值．- 答案：（1）证明：见解析；（2）二面角的余弦值为
． - 试题分析：（1）首先可得
为正三角形．
根据
为
的中点，得到
．进一步有
．
由平面，证得
．
平面
．即得．
（2）思路一：利用几何方法.遵循“一作，二证，三计算”，过作
于
，有
平面
，
过作
于
，连接
，
即得
为二面角的平面角，在
中，
.
思路二：利用“向量法”：由（1）知
两两垂直，以
为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
确定平面
的一法向量及
为平面
的一法向量．
计算
．
试题解析：（1）证明：由四边形为菱形，，可得为正三角形．
因为为的中点，所以．
又
，因此．
因为平面，
平面，所以．
而
平面，
平面且
，
所以平面．又
平面，
所以． （7分）
（2）解法一：因为平面，平面，
所以平面
平面．
过作于，则平面，
过作于，连接，
则为二面角的平面角，
在
中，
，
，
又
是
的中点，在
中，
，
又
， 在中，，
即所求二面角的余弦值为． （14分）
解法二：由（1）知两两垂直，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，又分别为的中点，所以
，
，
所以
．
设平面的一法向量为
，
则
因此
取
，则
，
因为
，
，
，
所以
平面，
故为平面的一法向量．
又
，
所以
．
因为二面角为锐角，
所以所求二面角的余弦值为．
考点：1.垂直关系；2.空间的角；3.空间向量方法.