- 试题详情及答案解析
- 关于函数
，下列命题正确的是——（写出所有正确命题的编号）
①不论a，b取什么值，函数f（x）的图像都关于原点对称.
②若a=b≠0，则函数f（x）的极小值是2a，极大值是-2a.
③当ab≠0时，函数f（x）图像上任意一点的切线都不可能经过原点.
④当a>0，b>0时，对函数f（x）图像上任意一点A，图像上存在唯一的点B，使得
.（点O是坐标原点）
⑤当ab≠0时，函数f（x）图像上任意一点的切线与直线y=ax及y轴围成的三角形的面积是定值.- 答案：①③⑤
- 试题分析：对于①，∵
，所以①正确;对于②，当a=b>0时，
，当x>1或x<-1时，f（x）单调递增，-1<x<1时，f（x）单调递减，所以f（1）=2a为极小值，f（-1）=-2a为极大值；当a=b<0时，，当x>1或x<-1时，f（x）单调递减，-1<x<1时，f（x）单调递增，所以f（1）=2a为极大值，f（-1）=-2a为极小值；故②错误；
对于③，假设当ab≠0时，函数f（x）图像上任意一点的切线可能经过原点，故设切线方程为
，将与
联立，得
，当k=a时，b=0,与题设矛盾；当k>a，b>0时，令
所以
，这与k>a，b>0时
矛盾；当k<a，b<0时，令
所以，这与k<a，b<0时
矛盾；综上假设不成立，故③错误；对于④，假设④成立，设a=b=1，设A（1,2）,B（
），可知
，方程无解，故假设不成立，即④错误；对于⑤，设切点坐标为（），所以切线方程为：
，令x=0，得
；联立
得
，故所围三角形的面积是
，故⑤正确.
考点：1.函数的奇偶性；2.函数的极值；3.导数研究函数的切线.