- 试题详情及答案解析
- （本题满分14分）
已知函数
的图象在点
处的切线的斜率为2.
（Ⅰ）求实数
的值;
（Ⅱ）设
,讨论
的单调性;
（Ⅲ）已知
且
,证明:
- 答案：（Ⅰ）
;（Ⅱ）在区间
和
都是单调递增的；（Ⅲ）详见解析.- 试题分析：（Ⅰ）因为
图象在点处的切线的斜率为2，所以
,即可求出m的值；（Ⅱ）因为
，所以
设
当
时，
，
是增函数，
，所以
，故在
上为增函数； 当
时，
，是减函数，，
所以
，故在
上为增函数；所以在区间和都是单调递增的；（Ⅲ）利用分析证明法：由已知可知要证，即证
即证
，即证
，即证
，又
，由（2）知成立，所以.
试题解析：解：（Ⅰ）
所以
由题意
,得 3分
（Ⅱ）
，所以
设
当时，，是增函数，，
所以，故在上为增函数； 6分
当时，，是减函数，，
所以，故在上为增函数；
所以在区间和都是单调递增的。 8分
（Ⅲ）由已知可知要证，即证 10分
即证，即证，即证， 12分
又，由（2）知成立，所以。 14分.
考点：1.导数的几何意义；2.导数在函数单调性中的应用；3.函数单调性在不等式证明中的应用.