- 试题详情及答案解析
- （本小题满分12分）函数
的导函数为
.
（Ⅰ）若函数
在
处取得极值,求实数
的值;
（Ⅱ）已知不等式
对任意
都成立,求实数
的取值范围.- 答案：（Ⅰ）
;（Ⅱ）
.- 试题分析：（Ⅰ）
，由于函数在时取得极值，所以 
，
即
解得，此时
在两边异号，在处取得极值；（Ⅱ） 方法一：由题设知：
对任意都成立即
对任意都成立，设 
, 则对任意
，
为单调递增函数
所以对任意，
恒成立的充分必要条件是
即 
，解不等式即可得到结果.方法二： 由题设知：，对任意都成立
即对任意都成立，利用分离参数法，于是
对任意都成立，即
解不等式即可得到结果.
试题解析：解: （Ⅰ），由于函数在时取得极值，所以 。
即解得，此时在两边异号，在处取得极值。 6分
（Ⅱ） 方法一：由题设知： 对任意都成立
即对任意都成立 9分
设, 则对任意，为单调递增函数
所以对任意，恒成立的充分必要条件是
即，
， 于是的取值范围是 12分
方法二： 由题设知：，对任意都成立
即对任意都成立
于是对任意都成立，即 9分， 于是的取值范围是 12分.
考点：1.函数的极值；2.函数恒成立问题.