- 试题详情及答案解析
- （本题满分13分）已知函数
，其中
.
（Ⅰ）若函数
在其定义域内单调递减,求实数
的取值范围;
（Ⅱ）若
,且关于
的方程
在
上恰有两个不相等的实数根,求实数
的取值范围.- 答案：（Ⅰ）
;（Ⅱ）
.- 试题分析：（Ⅰ）
的定义域是
，由于函数在其定义域内单调递减，所以
在
时恒成立，即
在恒成立.解法一：因为，所以二次函数开口向下，对称轴
，问题转化为
；即可求出a的范围；解法二，分离变量，得
在恒成立，即
，当
时，
取最小值
，即可求出a 的范围；（Ⅱ）由题意
，即
，
设
则
列表可知
，
，又
，方程
在[1，4]上恰有两个不相等的实数根.根据函数图象可知
， 即可求出b的范围.
试题解析：解：（Ⅰ）的定义域是，求导得
依题意在时恒成立，即在恒成立. 3分
这个不等式提供2种解法，供参考
解法一：因为，所以二次函数开口向下，对称轴，问题转化为
所以
，所以的取值范围是 6分
解法二，分离变量，得在恒成立，即
当时，取最小值，∴的取值范围是 6分
（Ⅱ）由题意，即，
设则列表：
极大值 ¯ 极小值
∴，，又 10分
方程在[1，4]上恰有两个不相等的实数根.
则， 得 （注意
） 13分.
考点：1.导数在研究函数单调性中的应用；2.函数的零点与方程的根.