- 试题详情及答案解析
- （本小题满分12分）如图,在四棱锥
中,平面
平面
,
∥
,已知
（1）设
是
上的一点,求证:平面
平面
;
（2）当三角形为正三角形时，点在线段（不含线段端点）上的什么位置时，二面角
的大小为
- 答案：（1）证明如下；（2）
时符合条件； - 试题分析：（1）考查面面垂直的判定定理，一条线垂直平面中两条相交的线，则线面平行，经过这条线的任何一个平面，都与该平面垂直；（2）考查二面角的问题，二面角是高中数学的一个难点，部分同学二面角问题的解决毫无头绪，再用立体几何知识解决此类问题，首先我们要判断好哪个角是二面角，在用空间向量解决此类问题时，判断二面角显得简单了许多，只要我们选取好法向量即可，对于本题，法向量为
，
，再代入到数量积公式即可。
试题解析：（1）因为，得
，又因为
，所以有
即
又因为平面平面，且交线为AD，所以
，
，故平面平面。。。。。。。。。。。。。。。4分
（2）由条件可知，三角形PAD为正三角形，所以取AD的中点O，连PO，则PO垂直于AD，
由于平面平面，所以PO垂直于平面ABCD，过O点作BD的平行线，交AB于点E,则有
,所以分别以
为
轴，建空间直角坐标系
所以点
，由于
且
，得到
，
设
（
，则有
，因为由（1）的证明可知，所以平面PAD的法向量可取：，设平面MAD的法向量为，则有
即有
由二面角成得
，故当M满足：时符合条件。。。。。。。。。12分
考点：面面平行的判定定理平面法向量的求法数量积公式