- 试题详情及答案解析
- （本题满分12分）已知点
在双曲线
上，且双曲线的一条渐近线的方程是
．
（1）求双曲线
的方程；
（2）过点
且斜率为
的直线
与双曲线交于
两个不同点，若以线段
为直径的圆经过坐标原点，求实数的值．- 答案：（1）
；（2）
.- 试题分析：（1）
点在双曲线上，代入方程得
，一条渐近线的方程是
知
，可以解得
,写出方程；（2）设过点且斜率为的直线： 
，与双曲线方程联立消去
得到关于
的二次方程，利用根与系数关系有
与的关系式，又以线段为直径的圆经过坐标原点，因此，
为坐标原点）．代入坐标和根与系数关系得方程，解得，再利用
检验.
于是，
即
试题解析：（1）由题知，有
解得
因此，所求双曲线的方程是．
（2）∵直线过点且斜率为， ∴直线：．
联立方程组
得
．①
设交点为
，由①可得
又以线段为直径的圆经过坐标原点，因此，为坐标原点）．
于是，即，
，
，解得．
又满足
，且，
所以，所求实数．
考点：1.双曲线方程及性质；2.直线与双曲线的综合问题；3.两直线垂直.