- 试题详情及答案解析
- 如图，Rt△ABC中，AC⊥BC，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AD交AB于点E，M为AE的中点，BF⊥BC交CM的延长线于点F，BD＝4，CD＝3．下列结论：①∠AED＝∠ADC；②
；③AC·BE＝12；④3BF＝4AC．其中正确结论的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个- 答案：C．
- 试题分析：①∠AED=90°﹣∠EAD，∠ADC=90°﹣∠DAC，∠EAD=∠DAC；
②易证△ADE∽△ACD，得DE：DA=DC：AC=3：AC，AC不一定等于4；
③根据相似三角形的判定定理得出△BED∽△BDA，再由相似三角形的对应边成比例即可得出结论；
④连接DM，可证DM∥BF∥AC，得FM：MC=BD：DC=4：3；易证△FMB∽△CMA，得比例线段求解．
试题解析：①∠AED=90°﹣∠EAD，∠ADC=90°﹣∠DAC，
∵AD平分∠BAC，∴∠EAD=∠DAC，∴∠AED=∠ADC．故本选项正确；
②∵∠EAD=∠DAC，∠ADE=∠ACD=90°，∴△ADE∽△ACD，得DE：DA=DC：AC=3：AC，但AC的值未知，故不一定正确；
③由①知∠AED=∠ADC，∴∠BED=∠BDA，
又∵∠DBE=∠ABD，∴△BED∽△BDA，∴DE：DA=BE：BD，由②知DE：DA=DC：AC，
∴BE：BD=DC：AC，∴AC•BE=BD•DC=12．故本选项正确；
④连接DM，则DM=MA．
∴∠MDA=∠MAD=∠DAC，∴DM∥BF∥AC，
由DM∥BF得FM：MC=BD：DC=4：3；
由BF∥AC得△FMB∽△CMA，有BF：AC=FM：MC=4：3，∴3BF=4AC．故本选项正确．
综上所述，①③④正确，共有3个．
故选C．
考点：1．相似三角形的判定与性质；2．角平分线的性质；3．等腰三角形的判定与性质．