2015届湖北省武汉市武昌区高三元月调研考试理科数学试卷（带解析）

2025-01-18

| 月考试卷

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| 湖北

第三方

选择题

，“存在点

A．充分而不必要的条件	B．必要而不充分的条件
C．充要条件	D．既不充分也不必要的条件

的展开式中x³项的系数为20，则a²＋b²的最小值为

3. 根据如下样本数据

x	3	4	5	6	7
y	4．0	2．5	0．5	0．5	2．0

得到的回归方程为

每增加1个单位，

个单位 B．减少

个单位
C．增加

个单位 D．减少

4. 如图，取一个底面半径和高都为R的圆柱，从圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥，把所得的几何体与一个半径为R的半球放在同一水平面

上．用一平行于平面

的平面去截这两个几何体，截面分别为圆面和圆环面（图中阴影部分）．设截面面积分别为

5. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积和体积分别是

6. 已知x，y满足约束条件

若z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为

是抛物线上的两个动点，且满足

上的投影为

的最大值是

8. 已知函数

是定义在R上的奇函数，它的图象关于直线

上有10个零点（互不相同），则实数

的取值范围是

9. i为虚数单位，若

填空题

1. 根据如图所示的框图，对大于2的整数N，输出的数列

的通项公式是_______．

2. 已知曲线

的参数方程是

为参数，a为实数常数），曲线

的参数方程是

为参数，b为实数常数）．以坐标原点为极点，

轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线

的极坐标方程是

所成长度相等的四段弧，则

3. 过圆外一点P作圆的切线PA（A为切点），再作割线PBC依次交圆于B，C．若PA＝6，AC＝8，BC＝9，则AB＝________．

4. “渐升数”是指除最高位数字外，其余每一个数字比其左边的数字大的正整数（如13456和35678都是五位的“渐升数”）．
（Ⅰ）共有个五位“渐升数”（用数字作答）；
（Ⅱ）如果把所有的五位“渐升数”按照从小到大的顺序排列，则第110个五位“渐升数”是．

5. 设斜率为

交于不同的两点P、Q，若点P、Q在

轴上的射影恰好为双曲线的两个焦点，则该双曲线的离心率是．

6. 已知正方形

解答题

1. 如图，矩形ABCD的四个顶点的坐标分别为A（0,—1），B（

,—1），C（

,1），D（0,1），正弦曲线f（x）=sinx和余弦曲线g（x）=cosx在矩形ABCD内交于点F，向矩形ABCD区域内随机投掷一点，则该点落在阴影区域内的概率是

2. （本小题满分11分）已知函数

上的最小值为0．
（Ⅰ）求常数a的值；
（Ⅱ）当

成立的x的集合．

3. （本小题满分12分）已知等差数列{a_n}的首项为1，前n项和为

，且S₁，S₂，S₄成等比数列．
（Ⅰ）求数列

的通项公式；
（Ⅱ）记

项和，是否存在正整数n，使得

？若存在，求

的最大值；若不存在，说明理由．

4. （本小题满分12分）如图,在棱长为2的正方体

中，点E，F分别是棱AB，BC上的动点，且AE=BF．

（Ⅰ）求证：A₁F

C₁E；
（Ⅱ）当三棱锥

的体积取得最大值时，求二面角

的正切值．

5. （本小题满分12分）对某交通要道以往的日车流量（单位：万辆）进行统计，得到如下记录：

日车流量x
频率	0．05	0．25	0．35	0．25	0．10	0

将日车流量落入各组的频率视为概率，并假设每天的车流量相互独立．
（Ⅰ）求在未来连续3天里，有连续2天的日车流量都不低于10万辆且另1天的日车流量低于5万辆的概率；
（Ⅱ）用X表示在未来3天时间里日车流量不低于10万辆的天数，求X的分布列和数学期望．

6. （本小题满分14分）已知椭圆C：

的焦距为4，其长轴长和短轴长之比为

．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）设F为椭圆C的右焦点，T为直线

上纵坐标不为0的任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q．
（ⅰ）若OT平分线段PQ（其中O为坐标原点），求

的值；
（ⅱ）在（ⅰ）的条件下，当

最小时，求点T的坐标．

7. （本小题满分14分）已知函数

（a为常数），曲线y＝f（x）在与y轴的交点A处的切线斜率为－1．
（Ⅰ）求a的值及函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）证明：当

；
（Ⅲ）证明：当

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