- 试题详情及答案解析
- （本小题满分14分）已知函数
，其中
为自然对数的底数．
（Ⅰ）求曲线
在点
处的切线方程；
（Ⅱ）若对任意
，不等式
恒成立，求实数
的取值范围；
（Ⅲ）试探究当
时，方程
解的个数，并说明理由．- 答案：（Ⅰ）
; （Ⅱ）
;（Ⅲ）时，方程有两个解． - 试题分析：（Ⅰ）依题意得，根据导数的几何意义即可求出斜率，再利用点斜式，即可求出曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）等价于对任意，
，利用导数在函数单调性中的应用，以及利用导数求最值即可求出结果；（Ⅲ）设
，
，对
进行分类讨论，即可求出结果.
试题解析：解：（Ⅰ）依题意得，
， 1分
． 2分
所以曲线在点处的切线方程为． 3分
（Ⅱ）等价于对任意，． 4分
设
，．
则
因为，所以
， 5分
所以
，故
在
单调递增， 6分
因此当
时，函数取得最小值
； 7分
所以
，即实数的取值范围是．8分
（Ⅲ）设，．
①当时，由（Ⅱ）知，函数
在单调递增，
故函数在至多只有一个零点，
又
，而且函数在上是连续不断的，
因此，函数在上有且只有一个零点． 10分
②当
时，
恒成立．证明如下：
设
，则
，所以
在
上单调递增，
所以时，
，所以
，
又时，
，所以
，即．
故函数在
上没有零点． 12分
③当
时，
，所以函数在
上单调递减，故函数在至多只有一个零点，
又
，而且函数在
上是连续不断的，
因此，函数在上有且只有一个零点．
综上所述，时，方程有两个解． 14分
考点：1.函数的导数的应用；2.不等式的恒成立．