- 试题详情及答案解析
- （本小题满分14分）
已知椭圆的中心在坐标原点
，长轴长为
,离心率
，过右焦点
的直线
交椭圆于
，
两点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）当直线的斜率为1时，求
的面积；
（Ⅲ）若以
为邻边的平行四边形是矩形，求满足该条件的直线的方程.- 答案：（1）
，（2）
（3）
- 试题分析：（Ⅰ）由已知，椭圆方程可设为
．
∵长轴长为,离心率，∴
．
所求椭圆方程为．
（Ⅱ）因为直线过椭圆右焦点
，且斜率为
，所以直线的方程为
．
设
，
由
得 
，解得 
．
∴
．
（Ⅲ）当直线与
轴垂直时，直线的方程为
，此时
小于
，为邻边的平行四边形不可能是矩形．
当直线与轴不垂直时，设直线的方程为
．
由
可得
．
∴
．
，
因为以为邻边的平行四边形是矩形
.
由
得
，
.
所求直线的方程为．
考点：本题考查直线与椭圆的位置关系
点评：由已知条件可直接得到a,b，求出椭圆方程，求三角形面积要先用弦长公式，求出弦长，平行四边形为矩形，用向量点乘积为0，算出k