- 试题详情及答案解析
- 如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥面ABCD，AB=BC=2， AD=CD=，PA=，∠ABC=120°,G为线段PC上的点
（1）证明：BD⊥面PAC
（2）若G是PC的中点，求DG与APC所成的角的正切值
（3）若G满足PC⊥面BGD，求
的值．- 答案：解：（1）证明：∵在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥面ABCD，∴PA⊥BD．
∵AB=BC=2，AD=CD=
，设AC与BD的交点为O，则BD是AC的中垂线，故O为AC的中点，且BD⊥AC．
而PA∩AC=A，∴BD⊥面PAC．
（2）若G是PC的中点，O为AC的中点，则GO平行且等于
PA，故由PA⊥面ABCD，可得GO⊥面ABCD，
∴GO⊥OD，故OD⊥平面PAC，故∠DGO为DG与平面PAC所成的角．
由题意可得，GO=PA=
．
△ABC中，由余弦定理可得AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cos∠ABC=4+4﹣2×2×2×cos120°=12，
∴AC=2
，OC=．
∵直角三角形COD中，OD=
=2，
∴直角三角形GOD中，tan∠DGO=
=
．
（3）若G满足PC⊥面BGD，∵OG⊂平面BGD，∴PC⊥OG，且 PC=
=
．
由△COG∽△CAP，可得
，即 
，解得GC=
，
∴PG=PC﹣GC=
﹣
=
，∴
=
=
．． - 试题分析：（1）利用直线和平面垂直的判定定理证得BD⊥面PAC．
（2）由三角形的中位线性质以及条件证明∠DGO为DG与平面PAC所成的角，求出GO和AC的值，可得OC、OD的值，再利用直角三角形中的边角关系求得tan∠DGO的值．
（3）由△COG∽△CAP，可得
，解得GC的值，可得PG=PC﹣GC 的值，从而求得 
的值．
考点：直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角．
点评：本题考查了直线和平面垂直的判定定理的应用，求直线和平面所成的角的求法．