- 试题详情及答案解析
- （本小题满分14分）已知幂函数
,且
在
上单调递增.
（1）求实数
的值,并写出相应的函数
的解析式；
（2）若
在区间
上不单调,求实数
的取值范围；
（3）试判断是否存在正数
,使函数
在区间
上的值域为
.若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.- 答案：（1）
（2） 
（3） 
- 试题分析：（1）因为
在上单调递增，所以有（2-k）（1+k）>0，再结合
就搞定.（2）因为
在不单调，说明对称轴在
上.
（3）g（x）是开口向下的二次函数，我们只需要讨论上的单调性，在内求出最大最小值，即可求解q.
试题解析：（1）由题意知
,解得:
.
又 ∴
或
,分别代入原函数,得.
（2）由已知得.
要使函数不单调，则
，则.
（3）由已知,
.
假设存在这样的正数符合题意,
则函数
的图象是开口向下的抛物线,其对称轴为
,因而,函数在上的最小值只能在
或
处取得,又
,
从而必有
,解得
.此时,
,其对称轴
,
∴在上的最大值为
,符合题意.
∴存在,使函数
在区间上的值域为.
考点：二次函数在闭区间的单调性.