- 试题详情及答案解析
- 已知四棱锥
中，
平面
，底面是边长为
的菱形，
，
．
（Ⅰ）求证：平面
平面
；
（Ⅱ）设
与
交于点
，
为
中点，若二面角
的正切值为
，求
的值．- 答案：（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）
- 试题分析：（Ⅰ）要证平面平面，只要证明BD⊥平面PAC即可.
（Ⅱ）思路一：过O作OH⊥PM交PM于H，连HD，首先证明∠OHD为O-PM-D的平面角，用
表示
即可.
思路二：如图,以
为原点,
所在直线为
轴,
轴建立空间直角坐标系，
试题解析：（Ⅰ）因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BD 2分
又ABCD为菱形，所以AC⊥BD,所以BD⊥平面PAC 4分
从而平面PBD⊥平面PAC． 6分
（Ⅱ）方法1． 过O作OH⊥PM交PM于H，连HD
因为DO⊥平面PAC，可以推出DH⊥PM,所以∠OHD为O-PM-D的平面角 8分
又
，且
10分
从而
11分
所以
，即． 12分
法二：如图,以为原点,所在直线为轴,轴建立空间直角坐标系，然后利用空间向量的数量积求出平面PMD的法向量
，由向量与向量
的夹角列方程求出的值.
,
,
8分
从而
9分
因为BD⊥平面PAC,所以平面PMO的一个法向量为． 10分
设平面PMD的法向量为
,由
得
取
，即
11分
设
与
的夹角为
，则二面角大小与相等
从而
，得
从而
，即
． 12分
考点：查空间直线与平面的位置关系、空间向量在立体几何中的应用.