- 试题详情及答案解析
- （本题满分16分）已知函数
，（
为常数，
为自然对数的底）．
（1）令
，
，求
和
；
（2）若函数
在
时取得极小值，试确定的取值范围；
（3）在（2）的条件下，设由的极大值构成的函数为
，试判断曲线只可能与直线
、
（
，
为确定的常数）中的哪一条相切，并说明理由．- 答案：（1）
，
;（2）
;（3）曲线只可能与直线相切. - 试题分析：（1）
.
时, 
,根据导数的运算法则将其求导即可.（2）先将
求导可得
.求导数等于0的根.比较两根的大小.根据两根的大小即的取值范围讨论两侧导数的符号,判断是否为极小值点. （3）由（2）可得时
.即
.先求导,令
,再求
,讨论导数的符号,导数正得增区间,导数负得减区间.根据函数的单调性可求函数的值域. 根据导数的几何意义可知此值域即为
切线斜率的值域.直线的斜率为
，直线的斜率为
,看两直线斜率是否在此值域内即可.
试题解析：解：（1），
时, .
. 4分
（2）
，令
，得或
，
当
时，
恒成立，此时单调递减；
当时，
，若
，则
，若
，则
，
是函数的极小值点； 8分
当
时，
，若
，则，若
，则，
此时是函数的极大值点，
综上所述，使函数在时取得极小值的的取值范围是 10分
（3）由（Ⅰ）知，且当
时，，
因此是的极大值点，，
于是 12分
，
令
，
则
恒成立，即
在
是增函数， 14分
所以当
时，
，即恒有
，
又直线的斜率为，直线的斜率为，
所以由导数的几何意义知曲线只可能与直线相切 16分.
考点：用导数研究函数的性质.