- 试题详情及答案解析
- 已知函数
（Ⅰ）当
时，判断函数
的单调区间并给予证明；
（Ⅱ）若有两个极值点
，证明：
．- 答案：（Ⅰ）证明详见解析；（Ⅱ）证明详见解析.
- 试题分析：（Ⅰ）
时，
于是可利用导数的符号解决函数的单调性问题；（Ⅱ）因为有两个极值点，所以其导函数
有两个零点，
又因为的导数为
，可结合的性质确定的
取值范围，写出函数在处所取极值的表达式
及定义域，同样利用导数研究的单调性从而证明不等式.
试题解析：（Ⅰ）时，
易知
从而为单调减函数． ４分
（Ⅱ）有两个极值点，
即
有两个实根，所以
，得
．
，得
． 6分
又
，
所以
8分
，得
10分
令
， 
12分
另解：
由两个实根，
，
当
时，
所以
单调递减且
，不能满足条件．
当
时，所以单调递减且
当
时，
所以单调递增且，
故当
时，
，当
时
，当
时②，所以由两个实根需要
．即
即
，
，从而可以构造函数解决不等式的证明．
考点：导数的运算以及应用导数研究函数的单调性、求函数的极值等问题.