- 试题详情及答案解析
- (本小题满分14分)如图,已知圆E:,点,P是圆E上任意一点.线段PF的垂直平分线和半径PE相交于Q.
(Ⅰ)求动点Q的轨迹的方程;
(Ⅱ)设直线与(Ⅰ)中轨迹相交于两点,直线的斜率分别为
.△的面积为,以为直径的圆的面积分别为.若恰好构成等比数列,求的取值范围.- 答案:(Ⅰ);(Ⅱ) .
- 试题分析:(Ⅰ)由垂直平分线性质可知,,所以有,由椭圆定义可得点的轨迹为椭圆,可求其轨迹方程;
(Ⅱ) 设直线的方程为,与椭圆方程联立,由及韦达定理可求得,再利用可求出的取值范围,求出,即可求的取值范围。
试题解析:(Ⅰ)连结QF,根据题意,|QP|=|QF|,则|QE|+|QF|=|QE|+|QP|=4,
故动点Q的轨迹是以E,F为焦点,长轴长为4的椭圆. 2分
设其方程为,可知,,则, 3分
所以点Q的轨迹的方程为为. 4分
(Ⅱ)设直线的方程为,,
由可得,
由韦达定理有:
且 6分
∵构成等比数列,=,即:
由韦达定理代入化简得:.∵, 8分
此时,即.又由三点不共线得
从而.
故
10分
又
则
为定值. 12分
当且仅当时等号成立.
综上: 14分
考点:导数与函数单调性、极值、最值,不等式恒成立问题的化归与转化.