- 试题详情及答案解析
- （本小题满分12分）已知圆
，直线
（1） 求证：对
，直线
与圆
总有两个不同的交点A、B；
（2） 求弦AB的中点M的轨迹方程，并说明其轨迹是什么曲线；
（3） 若定点P（1，1）满足
，求直线的方程。- 答案：（1）证明见解析；（2）
，为圆的轨迹方程；（3）
或
； - 试题分析：（1）由题可知，判断直线与圆的位置关系，我们常采取两种方法，圆心到直线的距离与半径的比较，若距离大于半径，则位置关系是相离，若距离等于半径，则位置关系是相切，若距离小于半径，则位置关系是相交；或是判断直线所经过的定点和圆的关系，点在圆内，则位置关系是相交，点在圆上，则位置关系是相切，点在圆外，则位置关系是相离；（2）关于求轨迹方程的问题，求哪个点的轨迹就设哪个点的坐标，通过题中的条件将x，y的关系式求出，即得轨迹方程；（3）过一点的直线用点斜式设出，再和圆的方程联立，由韦达定理以及，得出直线方程为或；
试题解析：（Ⅰ）解法一：圆
的圆心为
，半径为
。
∴圆心C到直线
的距离
，∴直线与圆C相交，即直线与圆C总有两个不同交点；
方法二：∵直线过定点
，而点在圆内∴直线与圆C相交，即直线与圆C总有两个不同交点；（4分）
（Ⅱ）当M与P不重合时，连结CM、CP，则
，又因为
,
设
，则
，
化简得：
当M与P重合时，
也满足上式。
故弦AB中点的轨迹方程是。（8分）
（Ⅲ）设
，
，由，
∴
，化简的
①
又由
消去y得
（*）
∴
② （10分）
由①②解得
，带入（*）式解得
，
∴直线的方程为或。（12分）
考点：直线与圆的位置关系中点轨迹方程直线方程的应用