- 试题详情及答案解析
- 在梯形ABCD中，AD∥BC，BA⊥AC，∠ABC = 450，AD = 2，BC = 6，以BC所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，点A在y轴上.
（1）求过A、D、C三点的抛物线的解析式；
（2）求△ADC的外接圆的圆心M的坐标，并求⊙M的半径；
（3）E为抛物线对称轴上一点，F为y轴上一点，求当ED＋EC＋FD＋FC最小时，EF的长；
（4）设Q为射线CB上任意一点，点P为对称轴左侧抛物线上任意一点，问是否存在这样的点P、Q，使得以P、Q、C为顶点的三角形与△ADC相似？若存在，直接写出点P、Q的坐标，若不存在，则说明理由.- 答案：（1）由题意知C（3，0）、A（0，3）．
如图1，过D作x轴垂线，由矩形性质得D（2，3）．
由抛物线的对称性可知抛物线与x轴另一交点为（﹣1，0）．
设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x﹣3）．
将（0，3）代入得a=﹣1，所以
．
（2）由外接圆知识知M为对称轴与AC中垂线的交点．
由等腰直角三角形性质得OM平分∠AOC，即yOM=x，
∴M（1，1）．
连MC得MC=
，即半径为．
（3）如图2，
由对称性可知：当ED+EC+FD+FC最小时，E为对称轴与AC交点，F为BD与y轴交点，
∵∠B=45°，∠AOB=90°，
∴AO=BO=3，故B点坐标为：（﹣3，0），
再利用D（2，3），代入y=ax+b，得：
，
解得：
，
故BD直线解析式为：
，
当x=0，y=
，根据对称轴为直线x=1，则y=2，
故F（0，）、E（1，2），
EF=
=
=
．
（4）可得△ADC中，AD=2，AC=
，DC=
．
假设存在，显然∠QCP＜90°，则∠QCP=45°或∠QCP=∠CAD．
如图3，
当∠QCP=45°时，OR=OC=3，
则R点坐标为（0，﹣3），将C，R代入y=ax+b得出：
，
解得：
，
这时直线CP的解析式为y=x﹣3，同理可得另一解析式为：y=﹣x+3．
当直线CP的解析式为y=x﹣3时，
则
，
解得：
，
可求得P（﹣2，﹣5），
故PC=
=
．
设CQ=x，则
，
解得：x=
或x=15．
∴Q （
，0）或（﹣12，0）．
当y=﹣x+3即P与A重合时，CQ=y，则
=
，
即
=
，或=
，
解得CQ=2或9，
故Q （1，0）或（﹣6，0）．
如图4，
当∠QCP=∠ACD时，设CP交y轴于H，连接ED，则ED⊥AC，
∴DE=
，EC=
，
易证：△CDE∽△CHQ，
所以
=
，
∴HO=
．
可求HC的解析式为
．
联解
，
得P
，PC=
．
设CQ=x，知
，
∴x=
或x=
，
∴Q
或
．
同理当H在y轴正半轴上时，HC的解析式为
．
∴P’ 
，
∴PC=
∴
，
∴CQ=
或
，所以Q
或
．
综上所述，P1（﹣2，﹣5）、Q1（，0）或（﹣12，0）；P2（0，3）、Q2（1，0）或（﹣6，0）；P3、Q3或；P4、Q4或． - 试题分析：（1）过D作x轴垂线，由抛物线的对称性可知抛物线与x轴另一交点为（﹣1，0）．再根据交点式即可求出过A、D、C三点的抛物线的解析式；
（2）由外接圆知识知M为对称轴与AC中垂线的交点．由等腰直角三角形性质可得M点的坐标，连MC得MC=，即为半径；
（3）由对称性可知：当ED+EC+FD+FC最小时，E为对称轴与AC交点，F为BD与y轴交点，再根据待定系数法求出BD直线解析式，从而得到E，F的坐标，再根据两点坐标公式即可求得EF的长；
（4）先求出直线CP的解析式为y=x﹣3或y=﹣x+3，再分情况讨论求得以P、Q、C为顶点的三角形与△ADC相似时点P、Q的坐标
考点：二次函数综合题
点评：此题主要考查了二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有抛物线的对称轴公式和三角函数关系等知识，利用三角形三边关系得出|TM﹣TF|是解题关键．