- 试题详情及答案解析
- 已知函数
（1）若
求函数
的单调区间；
（2）若
且对任意
,
恒成立，求实数
的取值范围;
（3）设函数
求证：
．- 答案：（1）当
时，
，∴f(x)在
单调递增；
当
时，
，∴f(x)在单调递减
（2）0<k<e；；（3）见解析- 试题分析：（1）
，令
，解得x=1
当时，，∴f(x)在单调递增；
当时，，∴f(x)在单调递减
（2）∵
为偶函数，∴>0恒成立等价于f(x)>0对
恒成立
当时，
，令，解得x=lnk
①当lnk>0，即k>1时，f(x)在(0,lnk)上单调递减，在
上单调递增
∴
，解得1<k<e，∴1<k<e
②当lnk≤0，即0<k≤1时，
，∴f(x)在
上单调递增，
∴
，符合，∴0<k≤1
综上，0<k<e．
（3）
∴
．
考点：本题利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数函数的最值，函数恒成立的问题，函数与数列的综合
点评：解决本题的关键是处理恒成立的问题，常常转化为函数的最值问题，第三问用了累乘法证明不等式