- 试题详情及答案解析
- （本小题14分）已知点
，
的坐标分别为
，
.直线
，
相交于点
，且它们的斜率之积是
，记动点的轨迹为曲线
.
（1）求曲线的方程；
（2）设
是曲线上的动点，直线
，
分别交直线
于点
，线段
的中点为
，求直线
与直线
的斜率之积的取值范围；
（3）在（2）的条件下，记直线
与
的交点为
，试探究点与曲线的位置关系，并说明理由.- 答案：（1）
（
），（2）
，（3）点在曲线
上- 试题分析：首先设动点
，利用直接法依据斜率之积等于
，求出点的轨迹方程，注意
这个条件即可；第二步设直线的斜率为
，则由题可得直线的斜率为
，用点斜式写出
的方程，与
联立得出
的坐标，得出中点的坐标，最后写出
斜率之积求出范围即可；第三步由于
斜率之积为
，所以交点在曲线C上.
试题解析：（1）设动点，则
（且
）
所以曲线的方程为（）.
（2）设直线的斜率为，则由题可得直线的斜率为，
所以直线的方程为
，令
，则得
，直线的方程为
，令，则得
，∴线段的中点
，∴ 
故
∴直线与直线的斜率之积的取值范围为
（3）由（2）得，，，
∴
，
∴
∴ 点在曲线上.
考点：1.求轨迹方程；2.两条直线的交点；3.取值范围问题；