- 试题详情及答案解析
- （本题满分16分）已知椭圆C的中心在原点，左焦点为
，右准线方程为：
．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若椭圆C上点
到定点
的距离的最小值为1，求
的值及点的坐标；
（3）分别过椭圆C的四个顶点作坐标轴的垂线，围成如图所示的矩形，A、B是所围成的矩形在
轴上方的两个顶点．若P、Q是椭圆C上两个动点，直线OP、OQ与椭圆的另一交点分别为
、
，且直线OP、OQ的斜率之积等于直线OA、OB的斜率之积，试探求四边形
的面积是否为定值，并说明理由．
- 答案：（1）
（2）
，
（3）四边形
的面积为定值
- 试题分析：（1）左焦点为，所以
，右准线方程为：
，由此解出
，写出方程（2）最值问题转化为函数问题，构造
的函数，即
，然后求最值使其等于1，注意分类讨论
（3）设
，根据斜率之积是定值，
在椭圆上，找出 坐标间的关系
；写出所在直线方程
，求
到直线
的距离
，根据面积公式写出面积
，
试题解析：解：（1）设椭圆的方程为：
，
由题意得：
，解得：
， 2分
∴
，∴椭圆的标准方程：； 4分
（2）设
，则
对称轴：
，
6分
①当
，即
，时，
，
解得：
，不符合题意，舍； 8分
②当
，即
，
时，
，
解得：或
；
；
综上：，； 10分
（3）由题意得：四条垂线的方程为
，
，则
，
∴
设
，
，则
①，.
∵点
、
在椭圆C上 ∴
，
平方①得：
，即. 12分
①若
，则、、、
分别是直线
、
与椭圆的交点，∴四个点的坐标为：
，
，
，
∴四边形的面积为；
②若
，则直线
的方程可设为：，化简得：
，
所以
到直线的距离为
， 14分
所以
的面积
.
根据椭圆的对称性，故四边形的面积为
，即为定值.
综上：四边形的面积为定值. 16分
考点：直线与椭圆的最值定值问题