- 试题详情及答案解析
- （本题满分16分）已知函数
在
处的切线
与直线
平行．
（1）求实数
的值；
（2）若关于
的方程
在
上恰有两个不相等的实数根，求实数
的取值范围；
（3）记函数
，设
是函数
的两个极值点，若
，且
恒成立，求实数
的最大值．- 答案：（1）
（2）
（3）
- 试题分析：（1）由题知斜率为
，所以函数在处的导数为，列出方程，解出
（2）构造函数
，将有两个不相等的实根转化为函数有两上零点；然后求导，列表，根据图像列出不等式
（3）由是函数的两个极值点，求导得
，根据，求出
或
的范围；要求 的最大值，即求
的最小值，根据
，构造关于的函数，或直接构造关于的函数， 求出最值。
试题解析：解：（1）
2分
∵函数在处的切线与直线平行 ∴
，
解得：； 4分
（2）由（1）得
，∴，即
设，
则
令
，得
， 列表得：
∴当
时，
的极小值为
，
又
7分
∵方程在上恰有两个不相等的实数根，
∴即
解得：；
（也可分离变量解） 10分
（3）解法（一）
∵
，∴
∴，
∴
设
，则
，令
，
则
，∴
在
上单调递减； 12分
∵
，∴
∵
∴
∴
∴
14分
∴当
时，
∴
． 16分
解法（二）
∵，∴
∴， ∴ 
∵ ∴ 
解得：
12分
∴
设
，则
∴
在
上单调递减； 14分
∴当
时，
∴
． 16分
考点：导数的几何意义，导数与不等式
