- 试题详情及答案解析
- 已知二次函数
， 在
和
时的函数值相等．
（1）求二次函数的解析式；
（2）若一次函数
的图象与二次函数的图象都经过点
，求
和
的值；
（3）设二次函数的图象与
轴交于点
（点
在点
的左侧），将二次函数的图象在点间的部分（含点和点）向左平移
个单位后得到的图象记为
，同时将（2）中得到的直线向右平移
个单位．请结合图象回答：当平移后的直线与图象有公共点时，的取值范围．
- 答案：解：（1）∵二次函数y＝(t+1)x2+2(t+2)x+
在x=0和x=2时的函数值相等，
∴对称轴x=-
=1
即-=1
解得，t=-
则二次函数的解析式为：y=（-+1）x2+2（-+2）x+-
即y=-
（x+1）（x-3）或y=-（x-1）2+2，
∴该函数图象的开口方向向下，且经过点（-1，0），（3，0），（0，），顶点坐标是（1，2）．其图象如图所示：
（2）∵二次函数的象经过点A（-3，m），
∴m=-（-3+1）（-3-3）=-6．
又∵一次函数y=kx+6的图象经过点A（-3，m），
∴m=-3k+6，即-6=-3k+6，
解得，k=4．
综上所述，m和k的值分别是-6、4．
（3）解：由题意可知，点B、C间的部分图象的解析式是y=- x2+x+=--（x2-2x-3）=--（x-3）（x+1），-1≤x≤3，
则抛物线平移后得出的图象G的解析式是y=-（x-3+n）（x+1+n），-n-1≤x≤3-n，
此时直线平移后的解析式是y=4x+6+n，
如果平移后的直线与平移后的二次函数相切，
则方程4x+6+n=-（x-3+n）（x+1+n）有两个相等的实数解，
即-- x2-（n+3）x- n2-
=0有两个相等的实数解，
判别式△=[-（n+3）]2-4×（-）×（- n2--）=6n=0，
即n=0，
∵与已知n＞0相矛盾，
∴平移后的直线与平移后的抛物线不相切，
∴结合图象可知，如果平移后的直线与抛物线有公共点，
则两个临界的交点为（-n-1，0），（3-n，0），
则0=4（-n-1）+6+n，
n=
,0=4（3-n）+6+n，
n=6，
即n的取值范围是：≤n≤6 - 试题分析：（1）根据已知条件知，该函数的对称轴方程为x=1，则- =1，据此易求t的值，
把t的值代入函数解析式即可；根据图象与坐标轴的交点坐标，顶点坐标画出图象；
（2）把点A的坐标代入二次函数解析式，利用方程可以求得m的值；然后把点A的坐标代入一次
函数解析式，也是利用方程来求k的值．
（3）求出点B、C间的部分图象的解析式是y=-（x-3+n）（x+1+n），-n-1≤x≤3-n，直线平移
后的解析式是y=4x+6+n，若两图象有一个交点时，得出方程4x+6+n=- （x-3+n）（x+1+n）有
两个相等的实数解，求出判别式△=6n=0，求出的n的值与已知n＞0相矛盾，得出平移后
的直线与抛物线有两个公共点，设两个临界的交点为（-n-1，0），（3-n，0），代入直
线的解析式，求出n的值，即可得出答案．
考点：用待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数图像上点的特点
点评：本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象以及二次函数图象上点的坐标特征．求得二次函数的解析式时，利用了二次函数图象的对称性质