- 试题详情及答案解析
- （本题满分16分）本题共有3个小题，第一小题3分，第二小题7分，第三小题6分
如图，曲线
由曲线
和曲线
组成，其中点
为曲线
所在圆锥曲线的焦点，点
为曲线
所在圆锥曲线的焦点，
（1）若
，求曲线的方程；
（2）如图，作直线
平行于曲线的渐近线，交曲线于点A、B，求证：弦AB的中点M必在曲线的另一条渐近线上；
（3）对于（1）中的曲线，若直线
过点
交曲线于点C、D，求
面积的最大值。- 答案：（1）
和
；（2）证明见解析；（3）
． - 试题分析：（1）利用待定系数法求解；（2）写出渐近线的方程与直线
的方程，联立直线与椭圆的方程，利用中点坐标公式写出中点坐标，再验证中点在另外一条渐近线上；（3）写出直线
方程，与曲线方程联立，利用弦长公式和点到直线的距离公式求弦长与高，求三角形的面积的不等式，再利用基本不等式求其最值.
试题解析：（1）
2分
则曲线
的方程为和。 3分
（2）曲线
的渐近线为
4分
如图，设直线
5分
则
6分
又由数形结合知
，
7分
设点
，
则
， 8分
，
9分
，即点M在直线
上。 10分
（3）由（1）知，曲线
，点
设直线的方程为
10分
11分
设
由韦达定理：
12分
令
，
，
14分
，
，当且仅当
即
时等号成立 15分
时，
16分
考点：1.圆锥曲线；2.直线与圆锥曲线的位置关系；3.基本不等式.