- 试题详情及答案解析
- 已知函数
，
.
（1）设
.
① 若函数
在
处的切线过点
，求
的值；
② 当
时，若函数在
上没有零点，求
的取值范围；
（2）设函数
，且
，求证：当
时，
.- 答案：（1）①
，②
，（2）详见解析 - 试题分析：（1）①利用导数几何意义求切线斜率：
，函数在处的切线斜率
，又
，所以函数在处的切线方程
，将点代入，得.②利用导数研究函数单调性，再根据函数单调性确定没有零点的条件：因为
，所以根据导函数有无零点分类讨论；当
时，
，
，
；当
时，函数在上有最小值为
，令
，解得
；（2）由题意，
，要确定其最小值，需多次求导，反复确定求单调性，最后确定
试题解析：（1）由题意，得
，
所以函数在处的切线斜率， 2分
又，所以函数在处的切线方程，
将点代入，得. 4分
（2）当，可得，因为
，所以
，
①当时，
，函数在上单调递增，而
，
所以只需，解得
，从而. 6分
②当时，由
，解得
，
当
时，
，单调递减；当
时，，单调递增.
所以函数在上有最小值为，
令，解得
，所以.
综上所述，. 10分
（3）由题意，
，
而
等价于
，
令
， 12分
则
，且
，
，
令
，则
，
因， 所以
， 14分
所以导数
在
上单调递增，于是
，
从而函数
在上单调递增，即
. 16分
考点：导数几何意义，利用导数求函数单调性