- 试题详情及答案解析
- （本小题共13分）已知函数
.
（Ⅰ）若曲线
在
和
处的切线互相平行，求
的值；
（Ⅱ）求
的单调区间；
（Ⅲ）设
，若对任意
，均存在
，使得
，
求的取值范围.- 答案：（Ⅰ）
；（Ⅱ）当
时，的单调递增区间是
，单调递减区间是
；当
时；的单调递增区间是和
，单调递减区间是
.；当
时，的单调递增区间是
；当
时，的单调递增区间是
和，单调递减区间是
.；（Ⅲ）
- 试题分析：
. 2分
（Ⅰ）根据题意，
，解得. 4分
（Ⅱ）
. 5分
①当时，
，
，
在区间上，
；在区间上
，
故的单调递增区间是，单调递减区间是. 6分
②当时，
，
在区间和上，；在区间上，
故的单调递增区间是和，单调递减区间是. 7分
③当时，
， 故的单调递增区间是. 8分
④当时，
，
在区间和上，；在区间上，
故的单调递增区间是和，单调递减区间是. 9分
（Ⅲ）由已知，在
上有
. 10分
由已知，
，由（Ⅱ）可知，
①当
时，在上单调递增，
故
，
所以，
，解得，故
. 11分
②当时，在
上单调递增，在
上单调递减，
故
.
由可知
，
，
，
所以，
，
， 12分
综上所述，. 13分
考点：本题考查利用导数研究曲线的切线，利用导数研究函数的单调性，以及最值
点评：解决本题的关键是注意求函数的定义域；对于二次函数的分类①考虑开口方向②比较两根的大小；一般恒成立的问题转化为求最值