- 试题详情及答案解析
- （本小题满分14分）已知函数
.
（Ⅰ）求函数
的单调区间；
（Ⅱ）设
，求在区间
上的最大值；
（Ⅲ）证明：对
，不等式
成立.- 答案：（Ⅰ）函数
在
上单调递增，在
上单调递减； （Ⅱ）详见解析； （Ⅲ）- 试题分析：（Ⅰ）先求函数
的导数，再利用导数符号确定函数的单调区间；
（Ⅱ）由第（Ⅰ）问的结果，根据极值点与区间的关系对
的取值进行分类讨论，从而确定下同条件下的最大值. （Ⅲ）要证：，即证：
，即证：
而由（I）的结果，易知：
对任何
恒成立，因此可构造函数证明不等式成立.
试题解析：解：（Ⅰ）的定义域为
，
，
由
，得
.
当
时，
；当
时，
.
所以函数在上单调递增，在上单调递减. （4分）
（Ⅱ）（1）当
，即
时，在上单调递增，所以
.
（2）当
时，在上单调递减，所以
.
（3）当
，即
时，在
上单调递增，在
上单调递减，所以
. （10分）
（Ⅲ）由（Ⅰ）知，当
时，，所以在上，恒有
，即且当时等号成立.
因此，对
，恒有
.
因为
，
，所以
，即，
所以
.
即对，不等式成立. （14分）
考点：1、导数在研究函数性质中的应用；2、利用函数的思想解决不等式的问题.