（本小题满分12分）如图,在棱长为2的正方体中，点E，F分别是棱AB，BC上的动点，且AE=BF．（Ⅰ）求证：A Wap版

试题详情及答案解析: （本小题满分12分）如图,在棱长为2的正方体中，点E，F分别是棱AB，BC上的动点，且AE=BF．

（Ⅰ）求证：A₁FC₁E；
（Ⅱ）当三棱锥的体积取得最大值时，求二面角的正切值．; 答案：（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）．; 试题分析：（Ⅰ）设．以D为原点建立空间直角坐标系，写出有关点的坐标，只要证明即可．
（Ⅱ）首先把三棱锥的体积表示成的函数，确定当三棱锥的体积取得最大值时的的值．利用空间向量的数量积求出平面的法向量为，根据向量的夹角公式求出它与底面的法向量为的夹角的正切值．
试题解析：解：设．以D为原点建立空间直角坐标系，得下列坐标：
，，，，,，,,
,．

（Ⅰ）因为，，
所以．
所以．（4分）
（Ⅱ）因为，
所以当取得最大值时，三棱锥的体积取得最大值．
因为，
所以当时，即E，F分别是棱AB，BC的中点时，三棱锥B₁-BEF的体积取得最大值，此时E，F坐标分别为,．
设平面的法向量为，
则得
取，得．显然底面的法向量为．
设二面角的平面角为，由题意知为锐角．
因为，所以，于是．
所以，即二面角的正切值为．（12分）
考点：空间向量在立体几何中的应用．

2015届湖北省武汉市武昌区高三元月调研考试理科数学试卷（带解析）