- 试题详情及答案解析
- （本小题满分14分）已知椭圆C：
的焦距为4，其长轴长和短轴长之比为
．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）设F为椭圆C的右焦点，T为直线
上纵坐标不为0的任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q．
（ⅰ）若OT平分线段PQ（其中O为坐标原点），求
的值；
（ⅱ）在（ⅰ）的条件下，当
最小时，求点T的坐标．- 答案：（Ⅰ）
；（Ⅱ）（ⅰ）
；（ⅱ）当
最小时，T点的坐标是（3，1）或（3，－1）． - 试题分析：（Ⅰ）利用条件“焦距为4，其长轴长和短轴长之比为”列方程求出
的值从而确定椭圆的标准方程．
（Ⅱ）（ⅰ）由（Ⅰ）可得，F点的坐标是（2，0）． 设直线PQ的方程为x＝my+2，将直线PQ的方程与椭圆C的方程联立，得
消去
得到关于
的一元二次方程，于是可利用韦达定理与两直线的位置关系确定的值．（ⅱ）由（ⅰ）知T为直线
上任意一点可得，点T点的坐标为
．利用两点间的距离公式将表示成
的函数，最后利用函数或不等式的方法求出其取得最小值时的值，从而确定T点的纵坐标．．
试题解析：解：（Ⅰ）由已知可得
解得a2＝6，b2＝2．
所以椭圆C的标准方程是． （4分）
（Ⅱ）（ⅰ）由（Ⅰ）可得，F点的坐标是（2，0）．
设直线PQ的方程为x＝my+2，将直线PQ的方程与椭圆C的方程联立，得
消去x，得（m2＋3）y2+4my－2＝0，其判别式Δ＝16m2＋8（m2＋3）>0．
设P（x1，y1），Q（x2，y2），则y1＋y2＝
，y1y2＝
．于是x1＋x2＝m（y1＋y2）+4＝
．
设M为PQ的中点，则M点的坐标为
．
因为
，所以直线FT的斜率为
，其方程为
．
当
时，
，所以点
的坐标为
，
此时直线OT的斜率为
，其方程为
．
将M点的坐标为代入，得
．
解得． （8分）
（ⅱ）由（ⅰ）知T为直线上任意一点可得，点T点的坐标为．
于是
，
．
所以
．
当且仅当m2＋1＝
，即m＝±1时，等号成立，此时取得最小值
．
故当最小时，T点的坐标是（3，1）或（3，－1）． （14分）
考点：1、椭圆的标准方程；2、直线与椭圆的位置关系综合问题．