- 试题详情及答案解析
- （本小题满分14分）已知函数
（a为常数），曲线y＝f（x）在与y轴的交点A处的切线斜率为－1．
（Ⅰ）求a的值及函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）证明：当
时，
；
（Ⅲ）证明：当
时，
．- 答案：（Ⅰ） 函数
在区间
上单调递减，在
上单调递增；
（Ⅱ） 详见解析；（Ⅲ）详见解析．- 试题分析：（Ⅰ）先求函数
的导数，得
．然后由题设列方程确定
的值并进一步利用导数的符号求出函数的单调区间；
（Ⅱ） 令
，则
，结合（I）的结果证明
即可; （Ⅲ）构造函数
结合（II）的结果，利用导数证明
，从而有
即
，由此构造一组不等式证明结论成立．
试题解析：解：（Ⅰ）由，得．
又
，所以
．所以
，
．
由
，得
．
所以函数在区间上单调递减，在上单调递增． （4分）
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知
．
所以
，即
，
．
令，则
．
所以
在
上单调递增，所以
，即． （8分）
（Ⅲ）首先证明：当时，恒有．
证明如下：令，则
．
由（Ⅱ）知，当时，
，所以
，所以
在上单调递增，
所以，所以．
所以，即
．
依次取
，代入上式，则
，
，
．
以上各式相加，有
所以
，
所以
，即
． （14分）
另解：用数学归纳法证明（略）
考点：1、导数在研究函数性质中的应用．2、构造函数证明不等式．